. . . "Hausdorff measure" . "984930713"^^ . . . . . . . . "In mathematics a Hausdorff measure is a type of outer measure, named for Felix Hausdorff, that assigns a number in [0,\u221E] to each set in or, more generally, in any metric space. The zero-dimensional Hausdorff measure is the number of points in the set (if the set is finite) or \u221E if the set is infinite. The one-dimensional Hausdorff measure of a simple curve in is equal to the length of the curve. Likewise, the two dimensional Hausdorff measure of a measurable subset of is proportional to the area of the set. Thus, the concept of the Hausdorff measure generalizes counting, length, and area. It also generalizes volume. In fact, there are d-dimensional Hausdorff measures for any d \u2265 0, which is not necessarily an integer. These measures are fundamental in geometric measure theory. They appear naturally in harmonic analysis or potential theory." . "\uCE21\uB3C4\uB860\uC5D0\uC11C, \uD558\uC6B0\uC2A4\uB3C4\uB974\uD504 \uCE21\uB3C4(\uC601\uC5B4: Hausdorff measure)\uB294 \uC784\uC758\uC758 \uAC70\uB9AC \uACF5\uAC04\uC5D0 \uCC28\uC6D0 \"\uBD80\uD53C\"\uB97C \uBD80\uC5EC\uD558\uB294 \uBC29\uBC95\uC774\uB2E4." . . . . . . "Zur Bestimmung des Fl\u00E4cheninhalts einer -dimensionalen Fl\u00E4che im -dimensionalen Raum (mit ) gibt es in der Mathematik diverse Ma\u00DFe, die f\u00FCr alle Teilmengen des definiert sind und auf den \u201Eanst\u00E4ndigen\u201C (nicht entarteten) -dimensionalen Fl\u00E4chen deren heuristischen Fl\u00E4cheninhalt ergeben. (Zu den \u201Eanst\u00E4ndigen\u201C Fl\u00E4chen geh\u00F6ren insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des .) Das bekannteste dieser Ma\u00DFe ist das -dimensionale Hausdorff-Ma\u00DF , benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zun\u00E4chst jedoch das -dimensionale sph\u00E4rische Ma\u00DF erl\u00E4utert werden." . . . "Ett Hausdorffm\u00E5tt \u00E4r inom matematik ett m\u00E5tt f\u00F6r metriska rum som \u00E4r en generalisering av Lebesguem\u00E5ttet. Hausdorffm\u00E5ttet \u00E4r namngivet efter som utvecklade begreppet."@sv . . . . . "\u041C\u0456\u0440\u0430 \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430" . . . "9055"^^ . . . . . . "En math\u00E9matiques, les mesures de Hausdorff \u2013 du nom de Felix Hausdorff \u2013 sont des mesures ext\u00E9rieures (en) particuli\u00E8res sur un espace m\u00E9trique X arbitraire. Leur famille, index\u00E9e par un r\u00E9el strictement positif, permet de d\u00E9finir la dimension de Hausdorff de n'importe quelle partie de X. \n* Portail de l\u2019analyse" . . . . . . . . . . . . . "504109"^^ . "Miara Hausdorffa \u2013 rodzaj miary zewn\u0119trznej, kt\u00F3ra przypisuje liczb\u0119 z zakresu do ka\u017Cdego zbioru w przestrzeni lub, bardziej og\u00F3lnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punkt\u00F3w w zbiorze (je\u015Bli jest sko\u0144czony) lub je\u015Bli jest niesko\u0144czony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwyk\u0142ej krzywej w jest r\u00F3wna jej d\u0142ugo\u015Bci. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. St\u0105d wynika, \u017Ce miara Hausdorffa jest uog\u00F3lnieniem wyliczenia, d\u0142ugo\u015Bci, powierzchni lub obj\u0119to\u015Bci. Istniej\u0105 -wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego kt\u00F3re niekoniecznie jest ca\u0142kowite. Nazwa poj\u0119cia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te s\u0105 podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiaj\u0105 si\u0119 one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencja\u0142u." . . . . . . . . "\u041C\u0456\u0440\u0430 \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0437\u0431\u0456\u0440\u043D\u0430 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0443 \u043C\u0456\u0440, \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u0445 \u043D\u0430 \u0431\u043E\u0440\u0435\u043B\u0456\u0432\u0441\u044C\u043A\u0456\u0439 -\u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0456 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u043E\u0433\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0443 ." . . . . . . . . . . . . . "Em matem\u00E1tica, a medida de Hausdorff \u00E9 um tipo de medida exterior cujo nome se deve ao matem\u00E1tico alem\u00E3o Felix Hausdorff e que associa a cada subconjunto do espa\u00E7o euclidiano um n\u00E3o negativo. O conceito pode ser definido para qualquer espa\u00E7o m\u00E9trico. A medida de Hausdorff em est\u00E1 definidade para cada dimens\u00E3o d maior ou igual a 0 (onde d \u00E9 um n\u00FAmero real, n\u00E3o estanto restrito aos n\u00FAmeros inteiros). A medida de Hausdorff de dimens\u00E3o 0 de um conjunto S \u00E9 o n\u00FAmero de pontos deste conjunto, a medida de dimens\u00E3o 1 de uma \u00E9 o comprimento dela, a medida de dimens\u00E3o 2 de uma superf\u00EDcie \u00E9 a medida da sua \u00E1rea." . . . . . "Em matem\u00E1tica, a medida de Hausdorff \u00E9 um tipo de medida exterior cujo nome se deve ao matem\u00E1tico alem\u00E3o Felix Hausdorff e que associa a cada subconjunto do espa\u00E7o euclidiano um n\u00E3o negativo. O conceito pode ser definido para qualquer espa\u00E7o m\u00E9trico." . "Miara Hausdorffa" . . . . . . . "De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de n-dimensionale ruimte of algemener van een metrische ruimte. Om inzicht te krijgen in deze maat bekijken we een eenvoudiger vorm van meten. Om de m-dimensionale maat van een deelverzameling X van de te bepalen, gaan we X overdekken met een aftelbaar aantal m-dimensionale bolletjes met straal kleiner dan \u03B5 en gaan na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is: , waarin ri de straal is van het i-de bolletje uit de overdekking en het volume is van de eenheidsbol in m dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen. Door de toegestane straal \u03B5 van de bolletjes kleiner te nemen, wordt de eerder berekende benadering steeds beter en krijgen we een goede benadering van de afmeting van X: Voor de hausdorffmaat laten we nu in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan \u03B5. De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:" . . . . "In mathematics a Hausdorff measure is a type of outer measure, named for Felix Hausdorff, that assigns a number in [0,\u221E] to each set in or, more generally, in any metric space. The zero-dimensional Hausdorff measure is the number of points in the set (if the set is finite) or \u221E if the set is infinite. The one-dimensional Hausdorff measure of a simple curve in is equal to the length of the curve. Likewise, the two dimensional Hausdorff measure of a measurable subset of is proportional to the area of the set. Thus, the concept of the Hausdorff measure generalizes counting, length, and area. It also generalizes volume. In fact, there are d-dimensional Hausdorff measures for any d \u2265 0, which is not necessarily an integer. These measures are fundamental in geometric measure theory. They appe" . . . . . . . . . . "\u041C\u0435\u0440\u0430 \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0441\u043E\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u0438\u0435 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0441\u0430 \u043C\u0435\u0440, \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0451\u043D\u043D\u044B\u0445 \u043D\u0430 \u0431\u043E\u0440\u0435\u043B\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0439 -\u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u0430 ." . "De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de n-dimensionale ruimte of algemener van een metrische ruimte. Om inzicht te krijgen in deze maat bekijken we een eenvoudiger vorm van meten. Om de m-dimensionale maat van een deelverzameling X van de te bepalen, gaan we X overdekken met een aftelbaar aantal m-dimensionale bolletjes met straal kleiner dan \u03B5 en gaan na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is: ," . . . . . . . . . "Miara Hausdorffa \u2013 rodzaj miary zewn\u0119trznej, kt\u00F3ra przypisuje liczb\u0119 z zakresu do ka\u017Cdego zbioru w przestrzeni lub, bardziej og\u00F3lnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punkt\u00F3w w zbiorze (je\u015Bli jest sko\u0144czony) lub je\u015Bli jest niesko\u0144czony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwyk\u0142ej krzywej w jest r\u00F3wna jej d\u0142ugo\u015Bci. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. St\u0105d wynika, \u017Ce miara Hausdorffa jest uog\u00F3lnieniem wyliczenia, d\u0142ugo\u015Bci, powierzchni lub obj\u0119to\u015Bci. Istniej\u0105 -wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego kt\u00F3re niekoniecznie jest ca\u0142kowite. Nazwa poj\u0119cia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te s\u0105 podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiaj\u0105 si\u0119 one naturalnie w a" . . "\u041C\u0456\u0440\u0430 \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0437\u0431\u0456\u0440\u043D\u0430 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0443 \u043C\u0456\u0440, \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u0445 \u043D\u0430 \u0431\u043E\u0440\u0435\u043B\u0456\u0432\u0441\u044C\u043A\u0456\u0439 -\u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0456 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u043E\u0433\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0443 ." . "\uD558\uC6B0\uC2A4\uB3C4\uB974\uD504 \uCE21\uB3C4" . "Medida de Hausdorff" . "Zur Bestimmung des Fl\u00E4cheninhalts einer -dimensionalen Fl\u00E4che im -dimensionalen Raum (mit ) gibt es in der Mathematik diverse Ma\u00DFe, die f\u00FCr alle Teilmengen des definiert sind und auf den \u201Eanst\u00E4ndigen\u201C (nicht entarteten) -dimensionalen Fl\u00E4chen deren heuristischen Fl\u00E4cheninhalt ergeben. (Zu den \u201Eanst\u00E4ndigen\u201C Fl\u00E4chen geh\u00F6ren insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des .) Das bekannteste dieser Ma\u00DFe ist das -dimensionale Hausdorff-Ma\u00DF , benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zun\u00E4chst jedoch das -dimensionale sph\u00E4rische Ma\u00DF erl\u00E4utert werden." . . . . . . . . . "\u041C\u0435\u0440\u0430 \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430" . . . . . . . . . . . . "\uCE21\uB3C4\uB860\uC5D0\uC11C, \uD558\uC6B0\uC2A4\uB3C4\uB974\uD504 \uCE21\uB3C4(\uC601\uC5B4: Hausdorff measure)\uB294 \uC784\uC758\uC758 \uAC70\uB9AC \uACF5\uAC04\uC5D0 \uCC28\uC6D0 \"\uBD80\uD53C\"\uB97C \uBD80\uC5EC\uD558\uB294 \uBC29\uBC95\uC774\uB2E4." . . . . . . . . . . . . . "Hausdorffmaat" . . . "Hausdorff-Ma\u00DF" . . "Ett Hausdorffm\u00E5tt \u00E4r inom matematik ett m\u00E5tt f\u00F6r metriska rum som \u00E4r en generalisering av Lebesguem\u00E5ttet. Hausdorffm\u00E5ttet \u00E4r namngivet efter som utvecklade begreppet."@sv . . . . . . . "Hausdorffm\u00E5tt"@sv . . "\u041C\u0435\u0440\u0430 \u0425\u0430\u0443\u0441\u0434\u043E\u0440\u0444\u0430 \u2014 \u0441\u043E\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0435 \u043D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u0438\u0435 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0441\u0430 \u043C\u0435\u0440, \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0451\u043D\u043D\u044B\u0445 \u043D\u0430 \u0431\u043E\u0440\u0435\u043B\u0435\u0432\u0441\u043A\u043E\u0439 -\u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0433\u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0440\u0430\u043D\u0441\u0442\u0432\u0430 ." . . . . . . "En math\u00E9matiques, les mesures de Hausdorff \u2013 du nom de Felix Hausdorff \u2013 sont des mesures ext\u00E9rieures (en) particuli\u00E8res sur un espace m\u00E9trique X arbitraire. Leur famille, index\u00E9e par un r\u00E9el strictement positif, permet de d\u00E9finir la dimension de Hausdorff de n'importe quelle partie de X. \n* Portail de l\u2019analyse" . . "Mesure de Hausdorff" . . . .